Question

已知函數(shù)f（x）=-2

3

sin²x+sin2x+

3

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：

分析：（1）先利用三角恒等變換公式對函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡，用二倍角公式和兩個(gè)角的和的正弦公式，再依據(jù)化簡后的解析式求三角函數(shù)的周期．
（2）在所給的區(qū)間上找出函數(shù)值域的幾個(gè)特殊點(diǎn)：最大值和最小值點(diǎn)，再列出表格，在坐標(biāo)系中描出點(diǎn)畫出函數(shù)圖象．

解答： 解：（1）由題意得，f（x）=

3

(1-2sin2x)+sin2x
=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)…（2分）
∴函數(shù)的最小正周期T=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得，
-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）…（6分）
（2）由y=2sin（2x+

π

3

）知，列表如下：

x	0	π 12	π 3	7π 12	5π 6	π
y	3	2	0	-2	0	3

函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上，圖象如圖：

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的最值，以及函數(shù)的圖象的作法，解題的關(guān)鍵是對函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡，以及熟練掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)，作三角函數(shù)函數(shù)的圖象一般用五點(diǎn)法作圖，化簡函數(shù)f（x）的解析式是解題的突破口．