Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-1，2），B（2，1），C（1，0）．
（Ⅰ）判定三角形ABC形狀；
（Ⅱ）求過點(diǎn)A且在x軸和在y軸上截距互為倒數(shù)的直線方程；
（Ⅲ）已知l是過點(diǎn)A的直線，點(diǎn)C到直線l的距離為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明k_AC•k_BC=-1，即可判定三角形ABC形狀；
（Ⅱ）設(shè)出直線的方程，代入A的坐標(biāo)，即可求過點(diǎn)A且在x軸和在y軸上截距互為倒數(shù)的直線方程；
（Ⅲ）分類討論，利用點(diǎn)C到直線l的距離為2，求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）k_AC=-1，k_BC=1…（1分）k_AC•k_BC=-1，所以三角形ABC為直角三角形．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)所求直線方程為$\frac{x}{a}+ay=1\;（a≠0）$，
則$\frac{-1}{a}+2a=1$即$a=-\frac{1}{2}$或a=1，
所以$-2x-\frac{1}{2}y=1$或x+y=1，
即得所求直線方程為4x+y+2=0或x+y-1=0．…（6分）
（Ⅲ）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)l的方程為x=-1，此時(shí)點(diǎn)C到直線的距離為2，符合題意．（7分）
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為y-2=k（x+1），
即kx-y+k+2=0，
所以點(diǎn)C到直線的距離$d=\frac{{|{2k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，k=0，
所以直線l的方程為y-2=0．…（9分）
綜上可知，直線l的方程為x+1=0和y-2=0．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．