Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-（-1）^k2alnx（k∈N，a∈R且a＞0）．
（1）求f（x）的極值；
（2）若k=2016，關(guān)x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．
（3）k=2015時，證明：對一切x＞0都有f（x）-x²＞2a（$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$）成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過k為偶數(shù)與奇數(shù)，求解函數(shù)的極值即可．
（2）k=2016，化簡關(guān)于x的方程f（x）=2ax，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²-2alnx-2ax，求出函數(shù)的導數(shù)，求出極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的零點個數(shù)，求解即可；
（3）當k=2015時，問題等價于證明xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），由導數(shù)可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-$\frac{1}{e}$，當且僅當x=$\frac{1}{e}$時取到，由此可得結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-（-1）^k2alnx（k∈N，a∈R且a＞0）．
可得f′（x）=2x-（-1）k2a•$\frac{1}{x}$，
當k為奇數(shù)時，f′（x）=2x+$\frac{2a}{x}$＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）無極值．
當k為偶數(shù)時，f′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2a}{x}$=$\frac{2（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}{x}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$）上單調(diào)遞減，（$\sqrt{a}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）有極小值，f（x）極小值=f（$\sqrt{a}$）=a-2aln$\sqrt{a}$=a-alna，
（2）∵k=2016，則f（x）=x²-2alnx，
令g（x）=x²-2alnx-2ax，g′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$-2a=$\frac{{2x}^{2}-2ax-2a}{x}$=$\frac{2}{x}$（x²-ax-a），
令g′（x）=0，∴x²-ax-a=0，∵a＞0，x＞0，∴x₀=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
當x∈（0，x₀）時，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，
當x∈（x₀，+∞）時，g′（x）＞0，∴g（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
又g（x）=0有唯一解，∴$\left\{\begin{array}{l}{g{（x}_{0}）=0}\\{g′{（x}_{0}）=0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}-2al{nx}_{0}-2{ax}_{0}=0，①}\\{{{x}_{0}}^{2}-{ax}_{0}-a=0，②}\end{array}\right.$，
②-①得：2alnx₀+ax₀-a=0⇒2lnx₀+x₀-1=0⇒x₀=1，
∴1²-a-a=0，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（3）證明：當k=2015時，問題等價于證明xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），
由導數(shù)可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-$\frac{1}{e}$，當且僅當x=$\frac{1}{e}$時取到，
設m（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，（x∈（0，+∞）），則m′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴m（x）max=m（1）=-$\frac{1}{e}$，當且僅當x=1時取到，
從而對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$成立．故命題成立．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學生分析解決問題的能力，難度大．