Question

【題目】如圖，某公園內(nèi)有一塊矩形綠地區(qū)域ABCD，已知AB=100米，BC=80米，以AD，BC為直徑的兩個(gè)半圓內(nèi)種植花草，其它區(qū)域種值苗木. 現(xiàn)決定在綠地區(qū)域內(nèi)修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分組成的觀賞道路，其中直路MN與綠地區(qū)域邊界AB平行，直路為水泥路面，其工程造價(jià)為每米2a元，弧形路為鵝卵石路面，其工程造價(jià)為每米3a元，修建的總造價(jià)為W元. 設(shè).

（1）求W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如何修建道路，可使修建的總造價(jià)最少？并求最少總造價(jià).

Answer 1

【答案】(1) (2) 當(dāng)時(shí)，修建的總造價(jià)最少，最少總造價(jià)為元

【解析】

（1）連NC，AM，設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接MO，過(guò)N作，垂足為E.

可得，，從而得到W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值即可.

（1）連NC，AM，設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接MO，過(guò)N作，垂足為E.

由BC為直徑知，，又米，，

所以米，，

因?yàn)镸N∥AB，米，所以米，

由于米，

所以米，

因?yàn)橹甭返墓こ淘靸r(jià)為每米2a元，弧形路的工程造價(jià)為每米3a元，

所以總造價(jià)為

,

，

.

所以W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為

.

（2）記，

則

，

令，得，列表如下：

	—	0	+
		極小值

所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，

此時(shí)，總造價(jià)W最少，最少總造價(jià)為元.

答：（1）W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為

；

（2）當(dāng)時(shí)，修建的總造價(jià)最少，最少總造價(jià)為元.