Question

已知拋物線C頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為,設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.

(1)求拋物線C的方程;

(2)當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程;

(3)當(dāng)點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值.

Answer 1

解:(1)∵拋物線C的焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為,

∴=,得c=1,

∴F(0,1),即拋物線C的方程為x2=4y.

(2)設(shè)切點A(x1,y1),B(x2,y2),

由x2=4y得y′=x,

∴切線PA:y-y1=x1(x-x1),

有y=x1x-+y1,而=4y1,

即切線PA:y=x1x-y1,

同理可得切線PB:y=x2x-y2.

∵兩切線均過定點P(x0,y0),

∴y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,

由此兩式知點A,B均在直線y0=xx0-y上,

∴直線AB的方程為y0=xx0-y,

即y=x0x-y0.

(3)設(shè)點P的坐標為(x′,y′),

由x′-y′-2=0,

得x′=y′+2,

則|AF|·|BF|=·

=·

=·

=(y1+1)·(y2+1)

=y1y2+(y1+y2)+1.

由

得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0,

有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2,

∴|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1

=y′2+(y′+2)2-2y′+1

=22+,

當(dāng)y′=-,x′=時,

即P時,|AF|·|BF|取得最小值.