Question

設(shè)函數(shù)f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).

(1)設(shè)n≥2,b=1,c=-1,證明:f(x)在區(qū)間(,1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn);

(2)設(shè)n為偶數(shù),|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;

(3)設(shè)n=2,若對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,求b的取值范圍.

Answer 1

解:(1)當(dāng)b=1,c=-1,n≥2時(shí),f(x)=xn+x-1,

∵ff(1)=×1<0,

∴f(x)在(,1)內(nèi)存在零點(diǎn).

又∵當(dāng)x∈(,1)時(shí),f′(x)=nxn-1+1>0,

∴f(x)在區(qū)間(,1)內(nèi)單調(diào)遞增,

∴f(x)在(,1)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn).

(2)依題意知

∴.

畫出可行域可知b+3c在點(diǎn)(0,-2)處取得最小值-6.在點(diǎn)(0,0)處取得最大值0,因而b+3c的最小值為-6,最大值為0.

(3)當(dāng)n=2時(shí),f(x)=x2+bx+c,

對(duì)任意x1,x2∈[-1,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤4等價(jià)于f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值之差M≤4,據(jù)此分類討論如下:

若>1,即|b|>2時(shí),

M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4與題設(shè)矛盾.

若-1≤-<0,即0<b≤2時(shí),

M=f(1)-f(-)=(+1)2≤4恒成立.

若0≤-≤1,即-2≤b≤0時(shí),

M=f(-1)-f(-)=(-1)2≤4恒成立.

綜上可知,-2≤b≤2.