Question

(1)m為何值時，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.

①有且僅有一個零點；②有兩個零點且均比－1大；

(2)若函數(shù)f(x)＝|4x－x2|＋a有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) ① m＝4或m＝－1；②(－5，－1)；(2) (－4,0)．

【解析】

試題分析：(1) ①由函數(shù)的零點與方程根之間的關系可知函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且僅有一個零點，等價于方程f(x)＝0有兩個相等實根，而此方程是關于x的一元二次方程，所以其判別式Δ＝0，從而可求得m的值；②函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有兩個零點且均比－1大，結合二次函數(shù)圖象可知首先其判別式應大于零，同時其對稱軸應在-1的右側，并且函數(shù)在-1的函數(shù)值大于零；從而獲得一個關于m的不等式組，解此不等式組即可求得m的取值范圍；(2) 函數(shù)f(x)＝|4x－x2|＋a有4個零點等價于|4x－x2|＝－a，也即函數(shù)g(x)＝|4x－x2|的圖象與直線y＝－a有四個不同的交點，作出圖象即可求出a的取值范圍.

試題解析：(1)①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且僅有一個零點，即方程f(x)＝0有兩個相等實根，亦即Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.

②由題意，知

即

∴－5<m<－1.

∴m的取值范圍為(－5，－1)．

(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，

即|4x－x2|＝－a.

令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.

作出g(x)、h(x)的圖象．

由圖象可知，當0<－a<4，即－4<a<0時，g(x)與h(x)的圖象有4個交點，即f(x)有4個零點．故a的取值范圍為(－4,0)．

考點：1.函數(shù)零點的概念；2.函數(shù)的零點與方程的根及函數(shù)圖象交點之間的關系.