Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=t，點(diǎn)（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，其中n∈N^*．
（1）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值；
（2）設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{c_n}中，所有滿足c_i•c_i+1＜0的整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列{c_n}的“積異號(hào)數(shù)”，令cn=

nan-4

nan

（n∈N^*），在（1）的條件下，求數(shù)列{c_n}的“積異號(hào)數(shù)”

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意，當(dāng)n≥2時(shí)，有

an+1=2Sn+1 an=2Sn-1+1

，兩式相減，得a_n+1-a_n=2a_n，由此能求出t=1．
（2）由（1）得a_n=3^n-1，從而c_n=

nan-4

nan

=

n•3n-1-1

n•3n-1

=1-

4

n•3n-1

，由此能求出數(shù)列{c_n}的“積異號(hào)數(shù)”為1．

解答： 解：（1）由題意，當(dāng)n≥2時(shí)，有

an+1=2Sn+1 an=2Sn-1+1

，
兩式相減，得a_n+1-a_n=2a_n，
∴a_n+1=3a_n，n≥2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n}是等比數(shù)列，
要使n≥1時(shí)，{a_n}是等比數(shù)列，
則只需

a2

a1

=

2t+1

t

=3，
解得t=1．
（2）由（1）得等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=1，公比為q=3，
∴a_n=3^n-1，
∴c_n=

nan-4

nan

=

n•3n-1-1

n•3n-1

=1-

4

n•3n-1

，
∵c₁=1-

4

1

=-3，c₂=1-

4

2×3

=

1

3

，
∴c₁c₂=-1＜0，
∵c_n+1-c_n=

4

n•3n-1

-

4

(n+1)•3n

=

4(2n+3)

n(n+1)•3n

＞0，
∴{c_n}遞增，由c₂=

1

3

＞0，得n≥2時(shí)，c_n＞0，
∴數(shù)列{c_n}的“積異號(hào)數(shù)”為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)t的值，數(shù)列{c_n}的“積異號(hào)數(shù)”的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．