Question

12．已知f（x）=-cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值并求函數(shù)取得最小值時自變量x的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=-cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
化簡：$f（x）=-\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$
令$2x-\frac{π}{6}=2kπ-\frac{π}{2}，k∈Z$，
解得$x=kπ-\frac{π}{6}，k∈Z$
故當(dāng)$x∈\left\{{x|x=kπ-\frac{π}{6}，k∈Z}\right\}$時，函數(shù)f（x）的最小值為$-\frac{3}{2}$．
（Ⅱ） 令$t=2x-\frac{π}{6}$，函數(shù)y=sint的單調(diào)增區(qū)間為$[-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ]$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
解得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$
∴$y=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$的單調(diào)增區(qū)間為$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]（k∈Z）$

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．