Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2（a_n-1）（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的 通項公式；
（2）設b_n=lna_n（n∈N^*），試求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過在S_n=2（a_n-1）中令n=1可知a₁=2，利用a_n+1=S_n+1-S_n化簡可知a_n+1=2a_n，進而可知數(shù)列{a_n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，計算即得結論；
（2）通過（1）可知b_n=nln2（n∈N^*），裂項可知$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{2（ln2）^{2}}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并項相加即得結論．

解答 解：（1）∵S_n=2（a_n-1），
∴S₁=2（a₁-1），即a₁=2，
又∵S_n+1=2（a_n+1-1），
∴a_n+1=2（a_n+1-1）-2（a_n-1），
整理得：a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=lna_n=ln2ⁿ=nln2（n∈N^*），
∴$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）（ln2）^{2}}$=$\frac{1}{2（ln2）^{2}}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2（ln2）^{2}}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2（ln2）^{2}}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2（ln2）^{2}}$[$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$]．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，對表達式的靈活變形、裂項相加是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．