Question

17．如圖AB是圓O的直徑，AF⊥AB，弦CD交AB、AF分別于E、F，交圓于點(diǎn)C．
（1）證明：AF•DA=AC•DF
（2）若圓的半徑為2，OE=EB=$\frac{1}{2}$AF，ED=$\frac{3}{2}$，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）證明△CAF∽△ADF，即可證明AF•DA=AC•DF
（2）CE•ED=AE•EB，可得CE=2，AF²=FC•FD，即4=FC•（FC+2+1），即可求CF的長．

解答 （1）證明：∵AB是圓O的直徑，AF⊥AB，
∴∠CAF=∠ADF，
∴△CAF∽△ADF，
∴$\frac{CA}{AD}=\frac{AF}{DF}$，
∴AF•DA=AC•DF
（2）解：∵圓的半徑為2，OE=EB，ED=$\frac{3}{2}$，
∴CE•ED=AE•EB，即CE•$\frac{3}{2}$=3•1，∴CE=2
∵AF=2，AF是切線，
∴AF²=FC•FD，即4=FC•（FC+2+1），
∴FC=1．

點(diǎn)評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查相交弦定理，切割線定理，考查相似分析解決問題的能力，屬于中檔題．