Question

12．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a_n²+2a_n=4S_n+3．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過在a_n²+2a_n=4S_n+3中令n=1可知a₁=3，利用S_n+1-S_n=a_n+1化簡、計(jì)算可知a_n+1-a_n=2，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知b_n=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n²+2a_n=4S_n+3，
∴a₁²+2a₁=4S₁+3，即${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-3=0$，
解得：a₁=3或a₁=-1（舍），
又∵a_n+1²+2a_n+1=4S_n+1+3，
∴（a_n+1²+2a_n+1）-（a_n²+2a_n）=4a_n+1，
整理得：（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n），
又∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正，
∴a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，
記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則
T_n=3•$\frac{1}{3}$+5•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（2n+1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=3•$\frac{1}{{3}^{2}}$+5•$\frac{1}{{3}^{3}}$•…+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+（2n+1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
錯(cuò)位相減得：$\frac{2}{3}$T_n=1+2（$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$•…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-（2n+1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=1+2×$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n+1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{4}{3}$-$\frac{2n+4}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{2}$（$\frac{4}{3}$-$\frac{2n+4}{{3}^{n+1}}$）=2-$\frac{n+2}{{3}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．