Question

9．函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，過(guò)曲線y=f（x）上的點(diǎn)（1，f（1））的切線方程為y=3x+1
（1）若y=f（x）在x=-2時(shí)有極值，求f（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)y=f（x）在[-3，1]上的最大值；
（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=x³+ax²+bx+c求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義結(jié)合切線方程及函數(shù)f（x）在x=-2時(shí)有極值即可列出關(guān)于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，從而得到f （x）的表達(dá)式．
（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x），通過(guò)f'（x）＞0，及f'（x）＜0，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步得出函數(shù)的極值即可．
（3）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞增，可得3x²-bx+b≥0在區(qū)間（-∞，1）上恒成立，從而b≥$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$在區(qū)間（-∞，1）上恒成立，由此可求b的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c求導(dǎo)數(shù)得f'（x）=3x²+2ax+b
過(guò)y=f（x）上點(diǎn)P（1，f（1））的切線方程為：y-f（1）=f'（1）（x-1），
即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1）
故$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{a+b+c=3}\end{array}\right.$，
∵有y=f（x）在x=-2時(shí)有極值，故f′（-2）=0，
∴-4a+b=-12
聯(lián)立解得a=2，b=-4，c=5．
則f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）f'（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）
∴函數(shù)在（-3，-2）上單調(diào)遞增，（-2，$\frac{2}{3}$）上單調(diào)遞減，（$\frac{2}{3}$，1）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_極大=f（-2）=（-2）³+2（-2）²-4（-2）+5=13f（1）=1³+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值為13．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{a+b+c=3}\end{array}\right.$，可得a=-$\frac{2}$，
∴f'（x）=3x²+2ax+b=3x²-bx+b，
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞增，
∴3x²-bx+b≥0在區(qū)間（-∞，1）上恒成立，
∴b≥$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$在區(qū)間（-∞，1）上恒成立，
令y=$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$，則y′=$\frac{3x（x-2）}{（x-1）^{2}}$，
∴x＜0時(shí)，y′＞0，0＜x＜1時(shí)，y′＜0，
∴x=0時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值0，
∴b≥0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基本知識(shí)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．