Question

17．如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ADE-BCF和一個正四棱錐P-ABCD組合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．
（Ⅰ）證明：平面PAD⊥平面ABFE；
（Ⅱ）求正四棱錐P-ABCD的高h(yuǎn)，使得該四棱錐的體積是三棱錐P-ABF體積的4倍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：AD⊥平面ABFE，即可證明平面PAD⊥平面ABFE；
（Ⅱ）利用體積公式，即可求正四棱錐P-ABCD的高．

解答 （Ⅰ）證明：直三棱柱ADE-BCF中，AB⊥平面ADE，
所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，
所以：AD⊥平面ABFE，AD?平面PAD，
所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（6分）
（Ⅱ）P到平面ABCD的距離d=1
所以：${V_{P-ABF}}=\frac{1}{3}{S_{△ABF}}d=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$
而：${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}h=\frac{1}{3}×2×2h=4{V_{P-ABF}}=\frac{8}{3}$，
所以h=2…．（12分）

點評 本題考查直線與平面、平面與平面垂直的證明，求三棱錐的體積，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地化立體幾何問題為平面幾何問題．