Question

9．為了解荊州中學學生健康狀況，從去年高二年級體檢表中抽取若干份，將他們的體重數據作為樣本．將樣本的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1：2：3，其中第2小組的頻數為12．
（Ⅰ）求樣本的容量；
（Ⅱ）以荊州中學的樣本數據來估計全省的總體數據，若從全省高二年級的所有學生中（人數很多）任選三人，設X表示體重超過60公斤的學生人數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設第一小組的頻率為x，由頻率分布直方圖得6x+（0.037+0.013）×5=1，由此能求出樣本的容量．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖，求出體重超過60公斤的學生所占頻率，由題意X有可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，0.625），由此能求了X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）∵從左到右的前3個小組的頻率之比為1：2：3，其中第2小組的頻數為12，
∴設第一小組的頻率為x，由頻率分布直方圖得：
6x+（0.037+0.013）×5=1，解得x=0.125，
∴第二小組的頻率為2x=0.25，
∴樣本的容量n=$\frac{12}{0.25}$=48．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖，得體重超過60公斤的學生所占頻率為：0.125×3+（0.037+0.013）×5=0.625，
從全省高二年級的所有學生中（人數很多）任選三人，設X表示體重超過60公斤的學生人數，
則X有可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，0.625），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}$0.375³=0.052734375，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}•0.625•0.37{5}^{2}$=0.263671875，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（0.625）^{2}•0.375$=0.439453125，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（0.625）^{3}$=0.244140625，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.052734375	0.263671875	0.439453125	0.244140625

EX=3×0.625=1.875．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．