Question

已知數列{an}，其中a2＝6且.

(1)計算a1，a3，a4；并求數列{an}的通項公式；

(2)設數列{bn}為等差數列，其中bn＝且c為不等于零的常數，求Sn＝b1＋b2＋…＋bn

Answer 1

解：(1)∵a2＝6，＝1，＝2，＝3，解得a1＝1，a3＝15，a4＝28.

由上面的a1，a2，a3，a4的值可以猜想an＝n(2n－1)．

下面用數學歸納法加以證明：

①當n＝1時，a1＝1×(2－1)＝1，結論成立．

②假設當n＝k時，結論正確，即

ak＝k(2k－1)，

則當n＝k＋1時，有＝k，

∴(k－1)ak＋1＝(k＋1)ak－(k＋1)＝(k＋1)·k(2k－1)－(k＋1)＝(k＋1)(2k2－k－1)

＝(k＋1)(2k＋1)(k－1)(k－1≠0)．

∴ak＋1＝(k＋1)[2(k＋1)－1]．

即當n＝k＋1時，結論也成立．由①②可知，{an}的通項公式

an＝n(2n－1)．

(2)∵{bn}是等差數列，∴2b2＝b1＋b3，即

∵a1＝1，a2＝6，a3＝15且c≠0，

由上式解得c＝－∴bn＝＝2n.故Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n(n＋1)．