Question

6．正四棱錐S-ABCD，底面邊長為2，側(cè)棱長為3，則其外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？

Answer 1

分析 正四棱錐外接球的球心在它的高上，然后根據(jù)勾股定理解出外接球的半徑；運(yùn)用分割思想，由大的四棱錐的體積等于四個三棱錐的體積和一個小的四棱錐的體積之和，即可求出內(nèi)切球的半徑r．

解答 解：正四棱錐S-ABCD的外接球的球心在它的高SO₁上，
記球心為O，SO=AO=R，SO₁=$\sqrt{7}$，OO₁=R-$\sqrt{7}$，或OO₁=$\sqrt{7}$-R（此時O在PO₁的延長線上），
在Rt△AO₁O中，R²=2+（R-$\sqrt{7}$）²得R=$\frac{9\sqrt{7}}{14}$，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則正四棱錐S-ABCD，底面邊長為2，側(cè)棱長為3，高為$\sqrt{7}$，斜高為2$\sqrt{2}$，
運(yùn)用分割思想，可得即$\frac{1}{3}$×$\sqrt{7}$×2²=$\frac{1}{3}$r（4×$\frac{1}{2}$×$2×2\sqrt{2}$+4），
∴r=$\frac{4\sqrt{7}}{8\sqrt{2}+4}$=$\frac{2\sqrt{14}-\sqrt{7}}{7}$，

點評 本題主要考查球與正四棱錐的關(guān)系，通過分割，運(yùn)用體積轉(zhuǎn)換的思想，是解決本題的關(guān)鍵．