Question

15．半徑為R的球內(nèi)部裝有4個半徑相同的小球，則小球半徑r的可能最大值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{{2+\sqrt{3}}}R$
• B． $\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}R$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{{3+\sqrt{6}}}R$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{{2+\sqrt{5}}}R$

Answer 1

分析 由題意，四個小球兩兩相切并且四個小球都與大球相切時，這些小球的半徑最大，以四個小球球心為頂點的正四面體棱長為2r，該正四面體的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面體的外接球半徑，即可求得結(jié)論．

解答 解：由題意，四個小球兩兩相切并且四個小球都與大球相切時，這些小球的半徑最大．
以四個小球球心為頂點的正四面體棱長為2r，該正四面體的中心（外接球球心）就是大球的球心，
該正四面體的高為$\sqrt{4{r}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}r}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}r}{3}$，
設(shè)正四面體的外接球半徑為x，則x²=（$\frac{2\sqrt{6}r}{3}$-x）²+（$\frac{2\sqrt{3}r}{3}$）²，
∴x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$r，
∴R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$r+r，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}$R．
故選：C．

點評 本題考查點、線、面距離的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定四個小球兩兩相切并且四個小球都與大球相切時，這些小球的半徑最大是關(guān)鍵．