Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+b．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（sinx）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出最值；
（Ⅱ）記f₀（x）=x²-a₀x+b₀，求函數(shù)|f（sinx）-f₀（sinx）|在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a₀=b₀=0，求z=b-$\frac{{a}^{2}}{4}$滿足條件D≤1時的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)t=sinx，f（t）=t²-at+b（-1＜t＜1），討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可判斷極值的存在；
（Ⅱ）結(jié)合不等式的性質(zhì)求得最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）結(jié)合不等式的性質(zhì)求得z=b-$\frac{{a}^{2}}{4}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)t=sinx，在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）遞增，
即有f（t）=t²-at+b（-1＜t＜1），f′（t）=2t-a，
①當(dāng)a≥2時，f′（t）≤0，f（t）遞減，即f（sinx）遞減；
當(dāng)a≤-2時，f′（t）≥0，f（t）遞增，即f（sinx）遞增．
即有a≥2或a≤-2時，不存在極值．
②當(dāng)-2＜a＜2時，-1＜t＜$\frac{a}{2}$，f′（t）＜0，f（sinx）遞減；
$\frac{a}{2}$＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）遞增．
f（sinx）有極小值f（$\frac{a}{2}$）=b-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
（Ⅱ）-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$時，|f（sinx）-f₀（sinx）|=|（a-a₀）sinx+b-b₀|≤|a-a₀|+|b-b₀|
當(dāng)（a-a₀）（b-b₀）≥0時，取x=$\frac{π}{2}$，等號成立；
當(dāng)（a-a₀）（b-b₀）≤0時，取x=-$\frac{π}{2}$，等號成立．
由此可知，|f（sinx）-f₀（sinx）|在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值為D=|a-a₀|+|b-b₀|．
（Ⅲ）D≤1即為|a|+|b|≤1，此時0≤a²≤1，-1≤b≤1，從而z=b-$\frac{{a}^{2}}{4}$≤1
取a=0，b=1，則|a|+|b|≤1，并且z=b-$\frac{{a}^{2}}{4}$=1．
由此可知，z=b-$\frac{{a}^{2}}{4}$滿足條件D≤1的最大值為1．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值，考查分類討論的思想方法和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題．