Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=2+$\frac{2mx+sinx+mxcosx}{2+cosx}$，若f（x）在[-n，n]上的值域?yàn)閇a，b]，其中a，b，m，n∈R，且n＞0，則a+b=4．

Answer 1

分析 由于f（x）=2+$\frac{2mx+sinx+mxcosx}{2+cosx}$=2+2x+$\frac{sinx}{2+cosx}$，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2x+$\frac{sinx}{2+cosx}$，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性即可求解．

解答 解：f（x）=2+$\frac{2mx+sinx+mxcosx}{2+cosx}$
=$\frac{4+2cosx+2mx+sinx+mxcosx}{2+cosx}$
=$\frac{（2+mx）（2+cosx）+sinx}{2+cosx}$，
=2+mx+$\frac{sinx}{2+cosx}$，
令g（x）=mx+$\frac{sinx}{2+cosx}$，
則g（-x）=-mx-$\frac{sinx}{2+cosx}$=-g（x），
∴g（x）在[-n，n]上的最大值與最小值之和為0，
∵f（x）=g（x）+2，
∴a+b=4．
故答案為：4

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上最值互為相反數(shù)即最值之和為0的性質(zhì)的應(yīng)用，其中構(gòu)造函數(shù)g（x）是求解本題的關(guān)鍵