Question

3．解方程：$\sqrt{（x-\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$+$\sqrt{（x+\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$=6．

Answer 1

分析 $\sqrt{（x-\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$+$\sqrt{（x+\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$表示平面上（x，$\frac{4}{3}$）點到（±$\sqrt{5}$，0）點距離的和，即直線y=$\frac{4}{3}$與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$交點的橫坐標，進而可得答案．

解答 解：$\sqrt{（x-\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$+$\sqrt{（x+\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$表示平面上（x，$\frac{4}{3}$）點到（±$\sqrt{5}$，0）點距離的和，
由到（±$\sqrt{5}$，0）點距離和為6的點的軌跡為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
令y=$\frac{4}{3}$得，x=±$\sqrt{5}$，
故方程$\sqrt{（x-\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$+$\sqrt{（x+\sqrt{5}）^{2}+\frac{16}{9}}$=6的兩根為±$\sqrt{5}$．

點評 本題考查的知識點是橢圓的標準方程，其中將方程的根轉化為直線y=$\frac{4}{3}$與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$交點的橫坐標，是解答的關鍵．