【題目】如圖,橢圓的離心率為,以橢圓的上頂點為圓心作圓,

,圓與橢圓在第一象限交于點,在第二象限交于點.

(1)求橢圓的方程;

(2)求的最小值,并求出此時圓的方程;

(3)設(shè)點是橢圓上異于的一點,且直線分別與軸交于點為坐標原點,求證:

為定值.

【答案】(1);(2);(3)詳見解析.

【解析】試題分析:(1)依據(jù)題設(shè)條件求出參數(shù)即可;(2)依據(jù)題設(shè)條件及向量的數(shù)量積公式建立目標函數(shù),再借助該函數(shù)取得最小值時求出圓的方程;(3)借助直線與橢圓的位置關(guān)系進行分析推證:

試題解析:

(1) 由題意知, ,得.

故橢圓的方程為.

(2) 與點關(guān)于軸對稱,設(shè),由點橢圓上,則,得

.由題意知, ,時, 取得最小值.此時, ,故.又點在圓上,代入圓的方程,得.

故圓的方程為.

(3)設(shè),則的方程為.令,得.同理可得, . 故. ①

都在橢圓上, ,代入①得, .即得為定值.

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