Question

19．設點O、P、Q是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線y²=4x的交點，O為坐標原點，若△OPQ的面積為2，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立求得P和Q點坐標，根據三角形的面積公式，即可求得$\frac{a}$=2，由雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴雙曲線的漸近線方程是y=±$\frac{a}$x，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2a}}\\{y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，
則P（$\frac{2a}$，2），同理求得Q（$\frac{2a}$，2），
△OPQ的面積為S=$\frac{1}{2}$×丨PQ丨×$\frac{2a}$=2，則$\frac{a}$=2，
∴雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
雙曲線的離心率$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題．