Question

4．證明：對一切正整數(shù)n，5ⁿ+2•3^n-1+1能被8整除．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，運用數(shù)學(xué)歸納法進行證明：（1）證明n=1時結(jié)論成立，（2）假設(shè)當(dāng)n=k，（k≥2，k∈N^*），結(jié)論成立，即5^k+2•3^k-1+1能被8整除，進而證明當(dāng)n=k+1時，5^k+1+2•3^k+1可以被8整除，綜合即可得證明．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時，5ⁿ+2•3^n-1+1=8，顯然能被8整除，
即n=1時，結(jié)論成立（2分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k，（k≥2，k∈N^*），結(jié)論成立，（3分）
則5^k+2•3^k-1+1能被8整除，設(shè)5^k+2•3^k-1+1=8m，m∈N^*，
當(dāng)n=k+1時，5^k+1+2•3^k+1=5（5^k+2•3^k-1+1）-4•3^k-1-4
=5（5^k+2•3^k-1+1）-4•（3^k-1+1）（7分）
而當(dāng)k≥2，k∈N^*時3^k-1+1顯然為偶數(shù)，設(shè)為2t，t∈N^*，
故=5（5^k+2•3^k-1+1）-4•（3^k-1+1）=40m-8t（m，t∈N^*），
也能被8整除，故當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立；
由（1）（2）可知對一切正整除n，5ⁿ+2•3^n-1+1能被8整除．（10分）

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的運用，關(guān)鍵是掌握運用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題的步驟．