Question

6．設(shè)$\overrightarrow{a}$=（4，3），$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\overrightarrow$在x軸上的投影為2，且|$\overrightarrow$|＜14，則$\overrightarrow$為（2，-$\frac{2}{7}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)投影得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角及$\overrightarrow$的橫坐標(biāo)為2，設(shè)$\overrightarrow$=（2，y），利用夾角公式列方程解出y即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{16+9}$=5，
∴5cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵$\overrightarrow$在x軸上的投影為2，∴$\overrightarrow$的橫坐標(biāo)為2，
設(shè)$\overrightarrow$=（2，y），則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=8+3y，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{4+{y}^{2}}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{8+3y}{5\sqrt{4+{y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解得y=14或y=-$\frac{2}{7}$．
∵|$\overrightarrow$|＜14，∴y=-$\frac{2}{7}$．故$\overrightarrow$=（2，-$\frac{2}{7}$）．
故答案為：（2，-$\frac{2}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．