Question

18．正方形ABCD一條邊AB所在方程為x+3y-5=0，另一邊CD所在直線方程為x+3y+7=0，
（Ⅰ）求正方形中心G所在的直線方程；
（Ⅱ）設(shè)正方形中心G（x₀，y₀），當(dāng)正方形僅有兩個(gè)頂點(diǎn)在第一象限時(shí)，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)中心所在直線為x+3y+c=0，結(jié)合正方形的性質(zhì)和平行線間的距離公式求得c的值；
（Ⅱ）由平行線間的距離公式得正方形的邊長(zhǎng)．設(shè)正方形BC，AD所方程為3x-y+m=0，聯(lián)立點(diǎn)G所在直線x₀+3y₀+1=0，得到$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-3m+5}{10}\\ y=\frac{m+15}{10}\end{array}$．結(jié)合限制性條件正方形僅有兩個(gè)頂點(diǎn)在第一象限，得到-15＜m＜$\frac{5}{3}$，易求x₀的取值范圍為$（\frac{6}{5}，\frac{13}{5}）$．

解答 解：（Ⅰ）由于正方形中心G所在直線平行于直線x+3y-5=0，
設(shè)中心所在直線為x+3y+c=0，
由平行線間的距離公式得$\frac{|c+5|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{|c-7|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$．
解得c=1．
則正方形中心G所在的直線方程為x+3y+1=0；
（Ⅱ）由平行線間的距離公式得正方形的邊長(zhǎng)為d=$\frac{|7+5|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{12}{\sqrt{10}}$．
設(shè)正方形BC，AD所在直線方程為3x-y+m=0，
由于中心G（x₀，y₀）到BC的距離等于$\fracziabnac{2}$=$\frac{6}{\sqrt{10}}$，
那么$\frac{|3{x}_{0}-{y}_{0}+m|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{6}{\sqrt{10}}$，
解得m=±6-3x₀+y₀ ①，
又因?yàn)镚在直線x+3y+1=0上，那么x₀+3y₀+1=0，即y₀=-$\frac{{x}_{0}+1}{3}$②，
把②代入①得m=±6-$\frac{10{x}_{0}+1}{3}$③，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}x+3y-5=0\\ 3x-y+m=0\end{array}$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-3m+5}{10}\\ y=\frac{m+15}{10}\end{array}$．
由于正方形只有兩個(gè)點(diǎn)在第一象限，那么$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ y＞0\end{array}$，
就是$\left\{\begin{array}{l}\frac{-3m+5}{10}＞0\\ \frac{m+15}{10}＞0\end{array}$，
解得-15＜m＜$\frac{5}{3}$⑤，
把③代入⑤得到-15＜±6-$\frac{10{x}_{0}+1}{3}$＜$\frac{5}{3}$，
解得$\frac{6}{5}$＜x₀＜$\frac{13}{5}$．
故x₀的取值范圍為$（\frac{6}{5}，\frac{13}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩平行直線的距離公式的運(yùn)用，待定系數(shù)法求直線方程以及正方形的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．