Question

10．在△ABC中，若|AB|=1，|AC|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，則其形狀為③，$\frac{{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}$=$\frac{1}{2}$（①銳角三角形 ②鈍角三角形  ③直角三角形，在橫線上填上序號）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件，取邊BC的中點D，連接AD，所以由$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|$得，|AD|=||CD|=|BD|，所以設|AD|=a，然后由余弦定理分別求出cos∠ADB和cos∠ADC，而根據(jù)cos∠ADB=-cos∠ADC即可求出a=1，從而|BC|=2，從而可得到△ABC為直角三角形，cosB=$\frac{1}{2}$，所以進行數(shù)量積的計算即可求出$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$．

解答 解：如圖，取BC中點D，則|AD|=|BD|=|CD|；
∴設|AD|=a，|AB|=1，|AC|=$\sqrt{3}$；
∴分別在△ABD和△ACD中，由余弦定理得：
$cos∠ADB=\frac{2{a}^{2}-1}{2{a}^{2}}$，$cos∠ADC=\frac{2{a}^{2}-3}{2{a}^{2}}$；
又cos∠ADB=-cos∠ADC；
∴2a²-1=-2a²+3；
解得a=1；
∴|BC|=2；
∴|AB|²+|AC|²=|BC|²；
∴△ABC為直角三角形；
$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}=|\overrightarrow{BA}|cosB=1•\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$．
故答案為：③，$\frac{1}{2}$．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，余弦定理，互補的兩角的余弦值的關系，直角三角形的邊的關系，以及數(shù)量積的計算公式．