Question

19．在△ABC內(nèi)，b²=a²+bc，A=$\frac{π}{6}$，求角C．

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosA，將cosA的值及已知等式變形后代入計算整理得到c=（$\sqrt{3}$-1）b，代入已知等式用b表示出a，再利用余弦定理表示出cosC，把表示出的a與c代入計算求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)．

解答 解：∵在△ABC內(nèi)，b²=a²+bc，A=$\frac{π}{6}$，
∴a²=b²-bc，
cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-^{2}+bc}{2bc}$=$\frac{{c}^{2}+bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c²=（$\sqrt{3}$-1）bc，即c=（$\sqrt{3}$-1）b，
∴b²=a²+（$\sqrt{3}$-1）b²，即a²=（2-$\sqrt{3}$）b²，
開方得：a=$\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}$b=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$b，
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（-1+\sqrt{3}）^{2}}{2\sqrt{2-\sqrt{3}}^{2}}$=$\frac{-1+\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C為三角形內(nèi)角，
∴C=$\frac{3π}{4}$．

點評 此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．