Question

7．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）=f（x）f（y）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都成立，f（1）=$\frac{1}{2}$，當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
（1）求f（-1）、f（-2）的值；
（2）求證：f（x）＞0；
（3）若f（1-|2-t|）≤4時(shí)，不等式x²+tx-1≤0，求實(shí)數(shù)x取值集合．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）=1，令x=1，y=-1，可得f（-1），再令x=y=-1，可得f（-2）；
（2）令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，由條件可得0＜f（x₂-x₁）＜1，即有f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁），運(yùn)用條件可得f（x）遞減，再由x＜0，可得f（x）＞0；
（3）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和f（-2）=4，求得t的范圍，再令g（t）=x²+tx-1，由不等式恒成立，可得x的不等式，由二次不等式的解法，即可得到所求集合．

解答 解：（1）令x=y=0，可得f（0）=f²（0），
解得f（0）=0，或f（0）=1；
當(dāng)f（0）=0時(shí)，f（x）=f（x）f（0）=0，不成立，
即有f（0）=1；
令x=1，y=-1，可得f（0）=f（1）f（-1），
即1=$\frac{1}{2}$f（-1），解得f（-1）=2；
令x=y=-1，可得f（-2）=f²（-1）=4；
（2）證明：令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，
由當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，
可得0＜f（x₂-x₁）＜1，
即有f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）＜f（x₁），
則f（x）在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞f（0）=1，
綜上可得f（x）＞0恒成立；
（3）f（1-|2-t|）≤4，
即為f（1-|2-t|）≤f（-2），
由（2）可得f（x）在R上遞減，可得1-|2-t|≥-2，
解得-1≤t≤5，
不等式x²+tx-1≤0在-1≤t≤5恒成立，
即為g（t）=x²+tx-1≤0恒成立，
可得$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≤0}\\{g（5）≤0}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1≤0}\\{{x}^{2}+5x-1≤0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-\sqrt{5}}{2}≤x≤\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{\frac{-5-\sqrt{29}}{2}≤x≤\frac{-5+\sqrt{29}}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{-5+\sqrt{29}}{2}$．
即有實(shí)數(shù)x取值集合為[$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-5+\sqrt{29}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，考查賦值法的運(yùn)用和函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，以及恒成立問題的解法，屬于中檔題．