Question

2．已知點A、B是拋物線x²=4y上任意兩點，過點A，B分別作拋物線的切線，兩切線交于點M（t，-2），（t≠0）．
（1）求證：切線MA與MB的斜率之積為定值．
（2）設直線AB的中垂線交x軸于點P，交y軸于點Q，當1≤t≤2$\sqrt{2}$時，求$\frac{|PQ|}{|AB|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²的導數(shù)，可得切線MA，MB的斜率，可得切線的方程，代入M的坐標，可得x₁，x₂為方程x²-2tx-8=0，運用韋達定理，可得切線的斜率為定值；
（2）求出切點弦方程和中垂線方程，可得PQ的長，由弦長公式可得AB的長，注意用t表示，求得$\frac{|PQ|}{|AB|}$的解析式，由t的范圍，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）證明：y=$\frac{1}{4}$x²的導數(shù)為y′=$\frac{1}{2}$x，
設切點A（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{4}$x₂²），
即有切線MA：y-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
化為y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，
同理可得切線MB：y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，
又它們都過點M（t，-2），
可得-2=$\frac{1}{2}$x₁t-$\frac{1}{4}$x₁²，及-2=$\frac{1}{2}$x₂t-$\frac{1}{4}$x₂²，
即有x₁，x₂為方程x²-2tx-8=0，
則x₁+x₂=2t，x₁x₂=-8，
即有切線MA與MB的斜率之積為$\frac{1}{4}$x₁x₂=-2即為定值；
（2）由（1）弦AB的方程為xt-2y+4=0，
中點為（t，$\frac{4+{t}^{2}}{2}$），中垂線的斜率為-$\frac{2}{t}$，
方程即有y-$\frac{4+{t}^{2}}{2}$=-$\frac{2}{t}$（x-t），
可得P（$\frac{t（8+{t}^{2}）}{4}$，0）Q（0，$\frac{8+{t}^{2}}{2}$），
可得|PQ|=$\frac{（{t}^{2}+8）\sqrt{4+{t}^{2}}}{4}$，
由|AB|=$\sqrt{1+\frac{{t}^{2}}{4}}$•$\sqrt{4{t}^{2}+32}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$•$\sqrt{8+{t}^{2}}$，
則$\frac{|PQ|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{8{+t}^{2}}$，由1≤t≤2$\sqrt{2}$，
可得t=1取得最小值$\frac{3}{4}$，t=2$\sqrt{2}$時，取得最大值1．
故$\frac{|PQ|}{|AB|}$的取值范圍是[$\frac{3}{4}$，1]．

點評 本題考查拋物線的方程和性質，考查直線和拋物線的位置關系，直線方程的求法和運用，考查運算化簡能力，屬于中檔題．