Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．
（1）求橢圓的右焦點F₂到對應準線的距離；
（2）如果橢圓上第一象限的點P到右準線的距離為$\frac{16}{3}$，求點P到左焦點F₁的距離．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程求出a，c的值，得到橢圓右焦點坐標，再求出右準線方程，則答案可求；
（2）由橢圓的第二定義結合（1）中求出的右焦點到對應準線的距離，得到P到右焦點的距離，再由橢圓第一定義求得點P到左焦點F₁的距離．

解答 解：（1）由$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得a²=25，b²=16，
∴c²=9，則a=5，c=3，
∴右焦點F₂（3，0），對應右準線$x=\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{25}{3}$，右焦點到對應準線的距離為d=$\frac{25}{3}-3=\frac{16}{3}$；
（2）橢圓的離心率為$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$，根據第二定義，$P{F}_{2}=ed=\frac{3}{5}×\frac{16}{3}=\frac{16}{5}$，
根據第一定義得$P{F}_{1}=2a-P{F}_{2}=10-\frac{16}{5}=\frac{34}{5}$，
∴點P到左焦點F₁的距離為$\frac{34}{5}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓兩種形式的定義，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．