Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+6$，
（1）求函數(shù)的極值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[-3，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出極值，
（2）分別求出端點(diǎn)值和極值，即可求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+6，
∴f′（x）=x²-4，
令f′（x）=0，解得x=-2，或2，
當(dāng)f′（x）＞0，即x＜-2或x＞2，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即-2＜x＜2，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有極大值，即f（-2）=-$\frac{8}{3}$+8+6=$\frac{34}{3}$，
故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值，即f（2）=$\frac{8}{3}$-8+6=$\frac{2}{3}$
（2）由（1）可知，f（x）在[-3，-2）或[2，4]上單調(diào)遞增，在（-2，2）上單調(diào)遞減，
∵f（-3）=-9+12+6=9，f（4）=$\frac{64}{3}$-16+6=$\frac{34}{3}$，且由（1）f（-2）=$\frac{34}{3}$，f（2）=$\frac{8}{3}$-8+6=$\frac{2}{3}$，
∴函數(shù)在區(qū)間[-3，4]上的最大值為$\frac{34}{3}$與最小值$\frac{2}{3}$

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值最值的關(guān)系，掌握求最值的步驟是關(guān)鍵，屬于中檔題．