Question

已知直線l的方程為kx-y+1=0（k∈R），圓C的方程為x²+y²-2x-3=0．
（1）試判斷直線與圓C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）過(guò)點(diǎn)（0，1）作直線l₁⊥l，設(shè)直線l₁與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，則四邊形PMQN的面積是否存在最大值和最小值？若存在，請(qǐng)求出，否則說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）首先求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)（0，1）進(jìn)一步判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，從而確定直線與圓的位置關(guān)系
（2）根據(jù)直線與直線垂直，并且還判斷出直線都過(guò)（0，1）點(diǎn)，并進(jìn)一步求出結(jié)果．

解答： 解：（1）結(jié)論：直線與圓C的位置關(guān)系是：相交
理由：已知直線l的方程為kx-y+1=0（k∈R）
則直線l恒過(guò)（0，1）點(diǎn)，圓C的方程為x²+y²-2x-3=0轉(zhuǎn)化為：（x-1）²+y²=4  R=2
點(diǎn)（0，1）到圓心的距離為

2

＜2=R
所以點(diǎn)（0，1）在圓內(nèi)，即直線與圓相交
（2）由（1）得直線l恒過(guò)（0，1）點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（0，1）作直線l₁⊥l，則直線l₁的直線方程為：y=-

1

k

x+1
則這條直線也恒過(guò)（0，1），圓C的方程為x²+y²-2x-3=0轉(zhuǎn)化為：（x-1）²+y²=4
所以：直線l₁與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)構(gòu)成的四邊形，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，由于MN⊥PQ，則四邊形PMQN的面積為最大值．
S max=

1

2

•2

3

•2

3

=18．
當(dāng)k=±1時(shí)，利用圓心到直線的距離d=

2

所以：兩條對(duì)角線的長(zhǎng)都為4，由于對(duì)角線互相垂直，
所以：Smin=

1

2

•4•4=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系，恒過(guò)定點(diǎn)的直線，直線和圓相交的特殊情況，屬于中檔題．