Question

8．在△ABC中，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，若G為BC的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{AC}$=2．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以判斷△ABC為Rt△，∠B=90°，并得出$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，求出cos$∠BAC=\frac{\sqrt{3}}{3}$，而$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AC}$，這樣進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：∵AB²+BC²=AC²；
∴∠B=90°如圖，在Rt△ABC中，$cos∠BAC=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∵G為BC中點(diǎn)；
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos∠BAC+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（1+3）$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 考查直角三角形邊的關(guān)系，余弦函數(shù)的定義，以及向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式．