Question

3．f（x）=e^xlnx-$\frac{a}{{2x}^{2}}$，函數(shù)在x=1處切線與 y軸垂直，g（x）=f′（x）-f（x），h（x）=-$\frac{x}$-lnx，若g（x）＞h（x）在[1，+∞）恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由題意可得在x=1處的導(dǎo)數(shù)為0，解得a=-e，求得g（x）的解析式，運(yùn)用參數(shù)分離可得-b＜xlnx+e^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$-$\frac{e}{2x}$在[1，+∞）恒成立，令m（x）=xlnx+e^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$-$\frac{e}{2x}$，求得導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得最小值，即可得到b的取值范圍．

解答 解：f（x）=e^xlnx-$\frac{a}{{2x}^{2}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$+$\frac{a}{{x}^{3}}$，
函數(shù)在x=1處切線與y軸垂直，即有f′（1）=0，
即為e+a=0，解得a=-e，
g（x）=f′（x）-f（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$-$\frac{e}{{x}^{3}}$-（e^xlnx+$\frac{e}{2{x}^{2}}$）
=$\frac{{e}^{x}}{x}$-$\frac{e}{{x}^{3}}$-$\frac{e}{2{x}^{2}}$，
由于g（x）＞h（x）在[1，+∞）恒成立，
即-lnx-$\frac{x}$＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-$\frac{e}{{x}^{3}}$-$\frac{e}{2{x}^{2}}$，
即有-b＜xlnx+e^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$-$\frac{e}{2x}$，
令m（x）=xlnx+e^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$-$\frac{e}{2x}$，即有m′（x）=lnx+1+e^x+$\frac{2e}{{x}^{3}}$+$\frac{e}{2{x}^{2}}$，
由x≥1，則m′（x）＞0，
m（x）在[1，+∞）遞增，
當(dāng)x=1時(shí)，m（x）取得最小值-$\frac{e}{2}$．
即有-b＜-$\frac{1}{2}$e，
解得b＞$\frac{1}{2}$e．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意運(yùn)用參數(shù)分離和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．