Question

1．已知直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=4．
（1）若直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，求k的取值范圍；
（2）若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用代數(shù)法，先聯(lián)立方程，消元后得到一個(gè)方程，即判別式小于零，即可求出k的范圍
（2）用代數(shù)法，先聯(lián)立方程，消元后得到一個(gè)方程，先研究相切的情況，即判別式等于零，再研究與漸近線平行的情況．

解答 解：（1）由題意令$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$，得x²-（kx-1）²=4，整理得（1-k²）x²+2kx-5=0
當(dāng)1-k²=0，k=±1時(shí)，顯然符合條件；
當(dāng)1-k²≠0時(shí)，有△=20-16k²＜0，解得k＜-$\frac{\sqrt{5}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
綜上，k取值范圍是k=±1，k＜-$\frac{\sqrt{5}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）由（1）△=0，△=20-16k²=0
∴k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
又注意直線恒過點(diǎn)（0，-1）且漸近線的斜率為±1，與漸近線平行時(shí)也成立，
∴k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$；k=±1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．