Question

16．已知正項等比數(shù)列{a_n}：a₉-a₈=2a₇，若存在兩項a_m，a_n，使得a_ma_n=64a₁²，則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 16
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)a₉-a₈=2a₇，求出公比的值，利用使得a_ma_n=64a₁²，寫出m，n之間的關(guān)系，結(jié)合基本不等式得到最小值．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q＞0），則
∵a₉-a₈=2a₇，
∴a₇q²-a₇q=2a₇，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在兩項a_m，a_n使得a_ma_n=64a₁²，
∴q^m+n-2=64，
∴m+n=7，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）（m+n）=1+9+$\frac{n}{m}$+$\frac{9m}{n}$≥10+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}$=16，當(dāng)且僅當(dāng)m=$\frac{7}{4}$，n=$\frac{21}{4}$，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為16．，
故選：C

點評 本題考查等比數(shù)列的通項和基本不等式，實際上應(yīng)用基本不等式是本題的重點和難點，關(guān)鍵注意當(dāng)兩個數(shù)字的和是定值，要求兩個變量的倒數(shù)之和的最小值時，要乘以兩個數(shù)字之和．