Question

10．已知x，y滿足線性約束條件：$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{2x+y-2≥0}\\{x-1＜0}\end{array}\right.$，則目標函數(shù)z=y-3x的取值范圍是（　�。�

• A． $（-1，-\frac{1}{3}）$
• B． （-3，-1）
• C． $（-3，\frac{1}{3}]$
• D． $[-3，\frac{1}{3}]$

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，進行求最值即可．

解答 解：由z=y-3x得y=3x+z，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{2x+y-2≥0}\\{x-1＜0}\end{array}\right.$，對應的平面區(qū)域如圖，平移直線y=3x+z，
由圖象可知當直線y=3x+z，過點B時，
直線y=3x+z的截距最小，此時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，即B（1，0）．
代入目標函數(shù)z=y-3x，
得z=0-3=-3，
∴目標函數(shù)z=x-2y的最小值是-3．
當直線y=3x+z，過點A時，
直線y=3x+z的截距最大，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
代入目標函數(shù)z=y-3x，
得z=$\frac{4}{3}-3×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴目標函數(shù)z=y-3x的最大值是$\frac{1}{3}$．
目標函數(shù)z=y-3x的取值范圍是（-3，$\frac{1}{3}$]
故選：C．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用，利用目標函數(shù)的幾何意義是解決問題的關鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．