Question

10．若（3x+$\frac{1}{x}$）ⁿ（n∈N^*）的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為P，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為S，若P+S=272，則函數(shù)f（x）=（3x+$\frac{1}{x}$）ⁿ在（0，+∞）上的最小值為（　�。�

• A． 144
• B． 256
• C． 24$\sqrt{3}$
• D． 64$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意求得S和 P的值，根據(jù)P+S=272求得n的值，再利用基本不等式求得函數(shù)f（x）的最小值．

解答 解：由題意可得P=4ⁿ，S=2ⁿ，
∴P+S=4ⁿ+2ⁿ=272，解得2ⁿ=16，
∴n=4，
在（0，+∞）上，
函數(shù)f（x）=（3x+$\frac{1}{x}$）ⁿ =（3x+$\frac{1}{x}$）⁴≥${（2\sqrt{3}）}^{4}$=144，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，等號(hào)成立，
故函數(shù)f（x）=（3x+$\frac{1}{x}$）ⁿ在（0，+∞）上的最小值為144，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，注意各項(xiàng)系數(shù)和與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和的區(qū)別，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．