Question

1．△ABC的內(nèi)角A、B、C對的邊分別為a、b、c，$\overrightarrow m$=（sinB，5sinA+5sinC）與$\overrightarrow n$=（5sinB-6sinC，sinC-sinA）垂直．
（1）求sinA的值；
（2）若a=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知及平面向量數(shù)量積的運算可得${sin^2}B+{cos^2}C-{cos^2}A=\frac{6sinBsinC}{5}$，利用正弦定理，余弦定理得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{3}{5}$，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得解sinA的值．
（2）由（1）可得：b²+c²-a²=$\frac{6bc}{5}$，利用基本不等式可求bc≤10，根據(jù)三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（{sinB，5sinA+5sinC}）$與$\overrightarrow n=（{5sinB-6sinC，sinC-sinA}）$垂直，
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n=5{sin^2}B-6sinBsinC+5{sin^2}C-5{sin^2}A=0$，
即${sin^2}B+{sin^2}C-{sin^2}A=\frac{6sinBsinC}{5}$．
根據(jù)正弦定理得${b^2}+{c^2}-{a^2}=\frac{6bc}{5}$．由余弦定理得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{3}{5}$．
∵A為三角形內(nèi)角，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
（2）由（1）可得：b²+c²-a²=$\frac{6bc}{5}$，
∴$\frac{6bc}{5}$=b²+c²-a²≥2bc-a²，
又∵a=2$\sqrt{2}$，
∴bc≤10，
∵△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{2bc}{5}$≤4，
∴△ABC的面積S的最大值為4．

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，基本不等式，三角形面積公式的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題．