Question

5．設(shè){a_n}是公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，若{a_n}中任意兩項之積仍是該數(shù)列中的項，那么稱{a_n}是封閉數(shù)列．
（1）若a₁=2，q=3，判斷{a_n}是否為封閉數(shù)列，并說明理由；
（2）證明{a_n}為封閉數(shù)列的充要條件是：存在整數(shù)m≥-1，使a₁=q^m；
（3）記Π_n是數(shù)列{a_n}的前n項之積，b_n=log₂Π_n，若首項a₁為正整數(shù)，公比q=2，試問：是否存在這樣的封閉數(shù)列{a_n}，使$\lim_{n→∞}（{\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}}）=\frac{11}{9}$，若存在，求{a_n}的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）{a_n}不是封閉數(shù)列，利用通項公式${a_n}=2•{3^{n-1}}$，對任意的m，n∈N^*，有${a_n}•{a_m}=4•{3^{m+n-2}}$，通過a_n•a_m=a_p，推出矛盾．得到結(jié)果．
（2）通過證明必要性，由條件推出${a_1}={q^m}$，（充分性）若存在整數(shù)m≥-1，使${a_1}={q^m}$，推出{a_n}是封閉數(shù)列．
（3）利用數(shù)列的乘積推出${b_n}=nlog{\;}_2{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}$，然后若a₁=1，若a₁=2，若a₁=4，分別通過數(shù)列的極限，判斷數(shù)列是否是封閉數(shù)列．

解答 解：（1）{a_n}不是封閉數(shù)列，因為${a_n}=2•{3^{n-1}}$，…（1分）
對任意的m，n∈N^*，有${a_n}•{a_m}=4•{3^{m+n-2}}$，…（2分）
若存在p，使得a_n•a_m=a_p，即3^p-m-n+1=2，p-m-n+1=log₃2，該式左邊為整數(shù)，右邊是無理數(shù)，矛盾．所以該數(shù)列不是封閉數(shù)列…（4分）
（2）證明：（必要性）任取等比數(shù)列的兩項a_s，a_t（s≠t），若存在a_k使a_sa_t=a_k，則${a_1}•{q^{s+t-2}}={q^{k-1}}$，解得${a_1}={q^{k-s-t+1}}$．故存在m=k-s-t+1∈Z，使${a_1}={q^m}$，…（6分）
下面證明整數(shù)m≥-1．
對q≠1，若m＜-1，則取p=-m≥2，對a₁，a_p，存在a_u使a₁a_p=a_u，
即q^m•q^p-1=q^u-1，q^-1=q^u-1，所以u=0，矛盾，
故存在整數(shù)m≥-1，使${a_1}={q^m}$．…（8分）
（充分性）若存在整數(shù)m≥-1，使${a_1}={q^m}$，則${a_n}={q^{n+m-1}}$，
對任意s，t∈N^*，因為${a_s}{a_t}={q^{（s+t+m-1）+m-1}}={a_{s+t+m-1}}$，
所以{a_n}是封閉數(shù)列．…（10分）
（3）由于${Π_n}={a_1}•{a_2}…{a_n}={a_1}^n•{2^{\frac{n（n-1）}{2}}}$，所以${b_n}=nlog{\;}_2{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}$，…（11分）
因為{a_n}是封閉數(shù)列且a₁為正整數(shù)，所以，存在整數(shù)m≥0，使${a_1}={2^m}$，
若a₁=1，則${b_n}=\frac{n（n-1）}{2}$，此時$\frac{1}{b_1}$不存在．所以$\lim_{n→∞}（\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}）$沒有意義…（12分）
若a₁=2，則${b_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，所以$\lim_{n→∞}（\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}）=2＞\frac{11}{9}$，…（13分）
若a₁=4，則${b_n}=\frac{n（n+3）}{2}$，于是$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n（n+3）}$，
所以$\lim_{n→∞}（\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}）=\frac{11}{9}$，…（16分）
若a₁＞4，則${b_n}＞\frac{n（n+3）}{2}$，于是$\frac{1}{b_n}＜\frac{2}{n（n+3）}$，
所以$\lim_{n→∞}（\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}）＜\frac{11}{9}$，…（17分）
綜上討論可知：a₁=4，${a_n}=4•{2^{n-1}}，（n∈{N^*}）$，該數(shù)列是封閉數(shù)列．…（18分）

點評 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列雨花石相結(jié)合，數(shù)列的極限的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．