Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1．
（1）求二面角A-DF-B的大�。�
（2）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使PF與BC所成角為60°．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以

CD

，

CB

，

CE

為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ADF的法向量和平面DFB的法向量，利用向量法能求出二面角A-DF-B的大�。�
（2）設(shè)P（a，a，0），（0≤a≤

2

），則

PF

=（

2

-a，

2

-a，1），

CB

=（0，

2

，0），PF與BC所成的角為60°，利用向量法能求出點(diǎn)P在線段AC的中點(diǎn)處．

解答： 解：（1）如圖，以

CD

，

CB

，

CE

為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，
則E（0，0，1），D（

2

，0，0），
B（0，

2

，0），F(xiàn)（

2

，

2

，1），
平面ADF的法向量

m

=（1，0，0），

BD

=（

2

，-

2

，0），

BF

=（

2

，0，1），
設(shè)平面DFB的法向量

n

=（a，b，c），
則

n • BD = 2 a- 2 b=0 n • BF = 2 a+c=0

，取a=1，得

n

=（1，1，-

2

），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

，
∵二面角A-DF-B的平面角是銳角，
∴二面角A-DF-B的大小為60°．
（2）解：由題意，設(shè)P（a，a，0），（0≤a≤

2

），
則

PF

=（

2

-a，

2

-a，1），

CB

=（0，

2

，0），
∵PF與BC所成的角為60°，
∴cos60°=|cos＜

PF

，

BC

＞|=

| PF • BC |

| PF |•| BC |

=

1

2

，
解得a=

2

2

或a=

3 2

2

（舍），
∴點(diǎn)P在線段AC的中點(diǎn)處．

點(diǎn)評：本題考查二面角的大小的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定，解題時要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．