Question

如圖，正四面體ABCD（四個(gè)面是全等的等邊三角形的四面體）中，P是AD的中點(diǎn)，求CP與平面DBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：作DE⊥BC，交BC于E，作AO⊥平在BDC，交DE于O，作PQ⊥平面BDC，交DE于Q，連結(jié)PC，CQ，則∠PCQ是CP與平面DBC所成角，由此能求出CP與平面DBC所成角的正弦值．

解答： 解：作DE⊥BC，交BC于E，作AO⊥平在BDC，交DE于O，
作PQ⊥平面BDC，交DE于Q，連結(jié)PC，CQ，
則∠PCQ是CP與平面DBC所成角，
設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，
則DE=PC=DE=

22-12

=

3

，
DO=

2

3

DE=

2 3

3

，DQ=

3

3

，
AO=

4- 4 3

=

2 6

3

，PQ=

1

2

AO=

6

3

，
∴sin∠PCQ=

PQ

PC

=

6 3

3

=

2

3

．
∴CP與平面DBC所成角的正弦值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．