Question

如圖：是y=f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的導函數(shù)y=f′（x）的簡圖，它與x軸的交點是（1，0）和（3，0）
（1）求y=f（x）的極小值點和單調區(qū)間
（2）求實數(shù)a的值和極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）先利用其導函數(shù)f′（x）圖象，判斷導函數(shù)值的正負來求其單調區(qū)間，進而求得其極小值點；
（2）由圖知，f′（1）=0且f'（3）=0，代入導函數(shù)解析式得到關于a的方程，解出即可求實數(shù)a的值和極值．．

解答： 解：（1）由f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的導函數(shù)y=f′（x）的圖象可知：導函數(shù)f′（x）小于0的解集是（1，3）；
函數(shù)f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x在x=1，x=3處取得極值，且在x=3的左側導數(shù)為負右側導數(shù)為正．
即y=f（x）的極小值點是3，函數(shù)的單調減區(qū)間為（1，3）．單調增區(qū)間是（-∞，1），（3，+∞）；
（2）由于f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的導函數(shù)f′（x）=ax²-4x+3a²，
又由（1）知，f′（1）=0且f′（3）=0
則

a-4+3a2=0 9a-12+3a2=0

解得 a=1．
y_極大值=f（1）=

4

3

，y_極小值=f（3）=0．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求解函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值問題．