Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD為菱形，AB=1，∠ABC=60°
（1）求證：AC⊥BD₁；
（2）若AA₁=

6

2

，求四面體D₁AB₁C的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BD交AC于O，由已知得AC⊥BD，從而DD₁⊥平面ABCD，進(jìn)而DD₁⊥AC，由此求出AC⊥平面BB₁D₁D，從而AC⊥BD₁．
（2）由VD1-AB1C=VABCD-A1B1C1D1-VB1-ABC -VD1-ACD-VA -A1B1D1-VC-C1B1D1=VABCD-A1B1C1D1-4VB1-ABC，能求出四面體D₁AB₁C的體積．

解答： （1）證明：連結(jié)BD交AC于O．
∵四邊形ABCD為菱形∴AC⊥BD，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴DD₁⊥平面ABCD，∴DD₁⊥AC，
又DD₁交BD于D，
則AC⊥平面BB₁D₁D，
又BD₁?平面BB₁D₁D，
則AC⊥BD₁．（6分）
（2）解：∵AB=1，∠ABC=60°，AA₁=

6

2

，
∴VD1-AB1C=VABCD-A1B1C1D1-VB1-ABC -VD1-ACD-VA -A1B1D1-VC-C1B1D1
=VABCD-A1B1C1D1-4VB1-ABC
=

3

2

•

3

6

-4•

1

3

•

3

4

•

3

6

=

2

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線的求法，考查四棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．