Question

5．已知函數(shù)f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R
①若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值．
②若k＞0時(shí)f（x）_min=2，求函數(shù)g（x）=ksinx+cosx的值域．
對(duì)任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 ①由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)知f（0）=1+k=0，從而求k=-1，再代入原函數(shù)驗(yàn)證為奇函數(shù)即可；
②由k＞0時(shí)f（x）_min=2求得k值，代入g（x）=ksinx+cosx后利用輔助角公式化積得答案；把f（x）=2^x+k•2^-x代入f（x）＞2^-x，分離參數(shù)k后求得答案．

解答 解：①∵f（x）=2^x+k•2^-x為奇函數(shù)，
∴f（0）=1+k=0，解得k=-1．
經(jīng)檢驗(yàn)，f（x）=2^x-2^-x是奇函數(shù)．
故k=-1；
②當(dāng)k＞0時(shí)，由f（x）=2^x+k•2^-x≥$2\sqrt{{2}^{x}•k•{2}^{-x}}=2\sqrt{k}$=2，
得k=1，
∴g（x）=ksinx+cosx=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$．
∴函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]；
對(duì)任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，即
2^x+k•2^-x＞2^-x都成立，
也就是（1-k）•2^-x＜2^x都成立，
∴1-k＜（2^x）²，
∵x∈[0，+∞），∴（2^x）²≥1，
則1-k＜1，即k＞0．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了三角函數(shù)最值的求法，訓(xùn)練了恒成立問題的解決方法，是中檔題．