Question

10．下面四個圖象中，至少有一個是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+（a²-1）x+1（其中a∈R）的導函數(shù)f′（x）的圖象，在f（-1）等于（　�。�

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$或-$\frac{5}{3}$
• D． -$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 由f（x）解析式求出導函數(shù)f′（x）解析式，分析得到導函數(shù)圖象可能為①或③，根據(jù)函數(shù)圖象分別求出a的值，確定出f（x）解析式，即可求出f（-1）的值．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+（a²-1）x+1，得到f′（x）=x²+2ax+a²-1，
可得導函數(shù)圖象可能為①，即對稱軸為y軸，-a=0，
解得：a=0，此時f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+1，即f（-1）=-$\frac{1}{3}$+2=$\frac{5}{3}$；
可得導函數(shù)圖象可能為③，即f′（0）=0，
∴a²-1=0，即a=1或-1，
當a=1時，f′（x）=x²+2x，不合題意；
當a=-1時，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+1，符合題意，此時f（-1）=-$\frac{1}{3}$-1+1=-$\frac{1}{3}$，
綜上，f（-1）=$\frac{5}{3}$或-$\frac{1}{3}$，
故選：D．

點評 此題考查了導數(shù)的運算，二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握導數(shù)的運算是解本題的關鍵．