Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（1）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），當a=1時，求函數(shù)F（x）的極值；
（2）若函數(shù)G（x）=f（sin（x-1））-g（x）在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）證明：$\sum_{k=1}^n{sin\frac{1}{k+1}}$＜ln（n+1）．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值即可得出；
（2）解法1：由函數(shù)G（x）=f（sin（x-1））-g（x）=asin（x-1）-lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，可得$G'（x）=acos（x-1）-\frac{1}{x}≤0$在（0，1）上恒成立$?a≤\frac{1}{xcos（x-1）}$在（0，1）上恒成立，設$H（x）=\frac{1}{xcos（x-1）}$，利用導數(shù)研究其單調性極值與最值即可得出；
解法2：由函數(shù)G（x）=f（sin（x-1））-g（x）=asin（x-1）-lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，可得對?x∈（0，1），$G'（x）=acos（x-1）-\frac{1}{x}≤0$（*）恒成立，由x∈（0，1），可得cos（x-1）＞0，對a分類討論：當a≤0時，（*）式顯然成立；當a＞0時，（*）式?$\frac{1}{a}≥xcos（x-1）$在（0，1）上恒成立，設h（x）=
xcos（x-1），利用其單調性即可得出．

解答 解：（1）∵當a=1時，函數(shù)F（x）=x-lnx，（x＞0）
∴$F'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
令F'（x）=0得x=1，
當x∈（0，1）時F'（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，F(xiàn)'（x）＞0，即函數(shù)F（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，
∴函數(shù)F（x）在x=1處有極小值，
∴F（x）_極小=1-ln1=1．
（2）解法1：∵函數(shù)G（x）=f（sin（x-1））-g（x）=asin（x-1）-lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)
∴$G'（x）=acos（x-1）-\frac{1}{x}≤0$在（0，1）上恒成立$?a≤\frac{1}{xcos（x-1）}$在（0，1）上恒成立，
設$H（x）=\frac{1}{xcos（x-1）}$，
則$H'（x）=\frac{{-（{cos（{x-1}）-xsin（{x-1}）}）}}{{{x^2}{{cos}^2}（x-1）}}=\frac{{xsin（{x-1}）-cos（{x-1}）}}{{{x^2}{{cos}^2}（x-1）}}$，
當x∈（0，1）時，sin（x-1）＜0，cos（x-1）＞0
∴H'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函數(shù)H（x）在（0，1）上單調遞減，
∴當x∈（0，1）時，H（x）＞H（1）=1，
∴a≤1．
解法2：∵函數(shù)G（x）=f（sin（x-1））-g（x）=asin（x-1）-lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)
∴對?x∈（0，1），$G'（x）=acos（x-1）-\frac{1}{x}≤0$（*）恒成立，
∵x∈（0，1），∴cos（x-1）＞0，
當a≤0時，（*）式顯然成立；
當a＞0時，（*）式?$\frac{1}{a}≥xcos（x-1）$在（0，1）上恒成立，
設h（x）=xcos（x-1），易知h（x）在（0，1）上單調遞增，
∴h（x）＜h（1）=1，
∴$\frac{1}{a}≥1$⇒0＜a≤1，
綜上得a∈（-∞，1]．
（3）由（2）知，當a=1時，G（x）=sin（x-1）-lnx＞G（1）=0，⇒sin（x-1）＞lnx$⇒sin（1-x）＜ln\frac{1}{x}$，（**）
∵對?k∈N^*有$\frac{k}{k+1}∈（0，1）$，
在（**）式中令$x=\frac{k}{k+1}$得$sin（1-\frac{k}{k+1}）=sin\frac{1}{k+1}＜ln\frac{k+1}{k}$，
∴$sin\frac{1}{2}+sin\frac{1}{3}+…+sin\frac{1}{n+1}＜ln2+ln\frac{3}{2}+…+ln\frac{n+1}{n}$=$ln（2•\frac{3}{2}•\frac{4}{3}…•\frac{n+1}{n}）=ln（n+1）$，
即$\sum_{k=1}^n{sin\frac{1}{k+1}}＜ln（n+1）$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、利用函數(shù)的單調性證明不等式，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．