Question

函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

2

5

．
（1）求實數(shù)a，b，并確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（3）寫出f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并判斷f（x）有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值．（不需要說明理由）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求得b=0，根據(jù)f（

1

2

）=

2

5

可求出a=1，所以便可求出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增；
（3）根據(jù)基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，所以分成x＞0和x＜0，從而用上基本不等式，并能求函數(shù)f（x）的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)；
∴f（-x）=-f（x），∴

-ax+b

x2+1

=

-ax-b

x2+1

，∴-ax+b=-ax-b，∴b=0；
∴f(x)=

ax

x2+1

，f（

1

2

）=

a 2

1 4 +1

=

2

5

，∴a=1；
∴f(x)=

x

x2+1

（2）設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂則：
f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1(x22+1)-(x12+1)x2

(x12+1)(x22+1)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即：f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）由（2）知，x₁，x₂∈（1，+∞）或（-∞，-1）時，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＜0，∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞），（-∞，-1）；
x＞0時，f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，∵x+

1

x

≥2，∴0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，∴函數(shù)f（x）的最大是

1

2

；
x＜0時，f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

=-

1

-x+ 1 -x

，-x＞0，-x+

1

-x

≥2，0＜

1

-x+ 1 -x

≤

1

2

，-

1

2

≤-

1

-x+ 1 -x

＜0，∴函數(shù)f（x）最小值是-

1

2

；
∴函數(shù)f（x）的最大值為

1

2

，最小值為-

1

2

．

點評：考查奇函數(shù)的定義，單調(diào)性的定義，根據(jù)單調(diào)性的定義求單調(diào)區(qū)間，根據(jù)基本不等式求函數(shù)的最值．