【題目】已知{an}為等差數(shù)列,前n項和為Sn(n∈N+),{bn}是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1 , S11=11b4 .
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項和(n∈N+).
【答案】解:(Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2﹣6=0.
又因為q>0,解得q=2.所以,bn=2n .
由b3=a4﹣2a1 , 可得3d﹣a1=8①.
由S11=11b4 , 可得a1+5d=16②,
聯(lián)立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n﹣2.
所以,數(shù)列{an}的通項公式為an=3n﹣2,數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n .
(Ⅱ)設數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項和為Tn ,
由a2n=6n﹣2,b2n﹣1= 4n , 有a2nb2n﹣1=(3n﹣1)4n ,
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n﹣1)4n ,
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n﹣1)4n+1 ,
上述兩式相減,得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣(3n﹣1)4n+1
= =﹣(3n﹣2)4n+1﹣8
得Tn= .
所以,數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項和為 .
【解析】(Ⅰ)設出公差與公比,利用已知條件求出公差與公比,然后求解{an}和{bn}的通項公式;
(Ⅱ)化簡數(shù)列的通項公式,利用錯位相減法求解數(shù)列的和即可.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設數(shù)列{an}的前n項和為 .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)是否存在正整數(shù)n,使得 ?若存在,求出n值;若不存在,說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知,,動點滿足,設動點的軌跡為曲線.
(1)求動點的軌跡方程,并說明曲線是什么圖形;
(2)過點的直線與曲線交于兩點,若,求直線的方程;
(3)設是直線上的點,過點作曲線的切線,切點為,設,求證:過三點的圓必過定點,并求出所有定點的坐標.
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【題目】校運動會高二理三個班級的3名同學報名參加鉛球、跳高、三級跳遠3個運動項目,每名同學都可以從3個運動項目中隨機選擇一個,且每個人的選擇相互獨立.
(1)求3名同學恰好選擇了2個不同運動項目的概率;
(Ⅱ)設選擇跳高的人數(shù)為試求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A.1盞
B.3盞
C.5盞
D.9盞
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【題目】如圖,已知圓: ,點.
(1)求經(jīng)過點且與圓相切的直線的方程;
(2)過點的直線與圓相交于、兩點,為線段的中點,求線段長度的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*),證明:當n∈N*時,
(Ⅰ)0<xn+1<xn;
(Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ ;
(Ⅲ) ≤xn≤ .
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【題目】對于三個實數(shù)、、,若成立,則稱、具有“性質(zhì)”.
(1)試問:①,0是否具有“性質(zhì)2”;
②(),0是否具有“性質(zhì)4”;
(2)若存在及,使得成立,且
,1具有“性質(zhì)2”,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設,,,為2019個互不相同的實數(shù),點()
均不在函數(shù)的圖象上,是否存在,且,使得、
具有“性質(zhì)2018”,請說明理由.
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